Η έννοια της άνωσης

Όταν βυθίσουμε ένα σώμα σε ένα υγρό, παρατηρούμε ότι εκτός από το βάρος του, ασκείται η δύναμη της άνωσης που ασκεί το υγρό στο σώμα. Για να αντιληφθούμε τη δύναμη της άνωσης εκτελούμε το ακόλουθο πείραμα: Παίρνουμε μια μπάλα και προσπαθούμε να τη βυθίσουμε στο νερό. Παρατηρούμε ότι κάποια δύναμη σπρώχνει προς τα πάνω τη μπάλα. Μάλιστα, όσο περισσότερο τη βυθίζουμε την μπάλα, τόσο μεγαλύτερη είναι η άνωση που την σπρώχνει προς τα πάνω. Αν βυθίσουμε εντελώς την μπάλα στο νερό θα πρέπει να καταβάλουμε μεγάλη προσπάθεια για να την συγκρατήσουμε μέσα στο νερό. Επίσης παρατηρούμε ότι λόγω της άνωσης είναι ευκολότερο να σηκώσουμε μια πέτρα όταν αυτή είναι βυθισμένη στο νερό από ότι όταν βρίσκεται έξω από αυτό.

Μέτρηση της άνωσης σώματος βυθισμένου σε υγρό

Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε την δύναμη της άνωσης που δέχεται μια πέτρα βυθισμένη μέσα στο νερό. Παίρνουμε την πέτρα και την κρεμάμε σε ένα δυναμόμετρο, τότε η ένδειξη του δυναμόμετρου w_φ θα είναι ίση με το βάρος της πέτρας w δηλαδή w_φ=w.

Παίρνουμε την πέτρα ενώ ταυτόχρονα είναι κρεμασμένη στο δυναμόμετρο και τη βυθίζουμε μέσα σε υγρό. Παρατηρούμε ότι όσο η πέτρα βυθίζεται, η ένδειξη του δυναμόμετρου μειώνεται και όταν βυθιστεί όλη, το δυναμόμετρο δείχνει σταθερή ένδειξη w_φ’ μικρότερη από το βάρος της πέτρας. Αυτή η ένδειξη ονομάζεται φαινομενικό βάρος του σώματος. Συμπεραίνουμε ότι η πέτρα δέχεται μια δύναμη Α από το νερό που ονομάζεται άνωση και έχει κατεύθυνση αντίθετη από του βάρους της.

Επειδή η πέτρα ισορροπεί από τη συνθήκη της ισορροπίας προκύπτει η σχέση w_φ’+Α=w ή Α=w-w_φ’ = w_φ-w_φ’

Δηλαδή η δύναμη της άνωσης μετράται ως την αφαίρεση των δύο ενδείξεων του δυναμόμετρου πριν και μετά τη βύθιση.

Που οφείλεται η άνωση

Σε προηγούμενη παράγραφο είπαμε ότι όταν βυθίσουμε ένα σώμα σε υγρό ασκείται πίεση σε αυτό, δηλαδή κάθετες δυνάμεις σε κάθε τμήμα της επιφάνειας του.

Ας θεωρήσουμε το σώμα του σχήματος το οποίο είναι βυθισμένο σε υγρό. Στο σχήμα είναι σχεδιασμένες μερικές από τις δυνάμεις που δέχεται κάθε επιφάνεια του σώματος. Οι δυνάμεις F₂ και F₃ που ασκούνται στα πλάγια τοιχώματα είναι αντίθετες και έχουν συνισταμένη μηδέν. Οι δυνάμεις F₁ και F₄ ασκούνται κατακόρυφα και λόγω της διαφορετικής υδροστατικής πίεσης έχουν διαφορετικό μέτρο.

Επειδή η υδροστατική πίεση στην κάτω επιφάνεια του σώματος είναι μεγαλύτερη από εκείνη της πάνω μεριάς, η δύναμη F₄ έχει μεγαλύτερο μέτρο από τη δύναμη F₁, με αποτέλεσμα να έχουμε μη μηδενική συνισταμένη με φορά προς τα άνω η οποία είναι η άνωση που δέχεται το σώμα από το υγρό.

Η άνωση δεν εξαρτάται από το σχήμα του βυθισμένου σώματος.

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο σε υγρό με το σχήμα του εκτελούμε το εξής πείραμα. Παίρνουμε ένα κομμάτι πλαστελίνη και μετράμε την άνωση που δέχεται βυθισμένη σε νερό με τον τρόπο που είπαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Αλλάζουμε το σχήμα της και μετράμε την άνωση που δέχεται από το νερό. Κάθε φορά ο όγκος της πλαστελίνης είναι ο ίδιος και βρίσκουμε την ίδια τιμή για την άνωση.

Άρα για τον ίδιο όγκο ενός σώματος η άνωση που δέχεται βυθισμένο σε υγρό, είναι ο ίδιος ανεξαρτήτου σχήματος.

Η άνωση δεν εξαρτάται από το βάρος βυθισμένου σώματος

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο στο νερό με το βάρος του, εκτελούμε το εξής πείραμα. Παίρνουμε κύβους ίδιας ακμής από διάφορα υλικά π.χ. πλαστικό, σίδερο κ.α. και μετράμε την άνωση που δέχονται βυθισμένα σε νερό με τον τρόπο που δείξαμε σε προηγούμενη παράγραφο. Παρατηρούμε ότι δέχονται την ίδια άνωση. Άρα η άνωση που δέχονται τα σώματα ίδιου όγκου αλλά από διαφορετικά υλικά, είναι η ίδια ανεξάρτητα από το υλικό του σώματος.

Η άνωση είναι ανεξάρτητη από το βάθος που βυθίζουμε το σώμα

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα με το βάθος στο οποίο βυθίζεται εκτελούμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε ένα σώμα και το βυθίζουμε σε διάφορα βάθη στο νερό, ενώ ταυτόχρονα μετράμε την άνωση του. Παρατηρούμε ότι το σώμα δέχεται την ίδια άνωση. Άρα η άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθιζόμενο σε υγρό σε διάφορα βάθη είναι η ίδια.

Η άνωση είναι ανάλογη της πυκνότητας του υγρού μέσα στο οποίο βυθίζεται ένα σώμα

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται η άνωση που δέχεται ένα σώμα με την πυκνότητα του υγρού στο οποίο βυθίζεται, εκτελούμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε το σιδερένιο κύβο και τον βυθίζουμε κάθε φορά σε διαφορετικό υγρό διαφορετικής πυκνότητας πχ. νερό και οινόπνευμα ενώ μετράμε την άνωση που δέχεται από το υγρό.

Παρατηρούμε ότι ο κύβος βυθιζόμενος στο νερό με τη μεγαλύτερη πυκνότητα δέχεται πιο μεγάλη άνωση από τον κύβο βυθιζόμενο σε οινόπνευμα με τη μικρότερη πυκνότητα. Άρα η άνωση που δέχεται ένα συγκεκριμένο σώμα βυθιζόμενο σε υγρό διαφορετικής πυκνότητας είναι μεγαλύτερη όταν βυθιστεί στο υγρό με τη μεγαλύτερη πυκνότητα.

Η άνωση εξαρτάται από τον όγκο βυθιζόμενου σώματος

Για να εξετάσουμε πως σχετίζεται ο όγκος ενός σώματος με την άνωση που δέχεται βυθιζόμενος σε υγρό εκτελούμε το εξής πείραμα: Παίρνουμε κύβους από το ίδιο υλικό π.χ. αλουμίνιο αλλά με διαφορετικούς όγκους και μετράμε την άνωση που δέχονται βυθιζόμενα σε νερό. Παρατηρούμε ότι το σώμα με τον μεγαλύτερο όγκο δέχεται την μεγαλύτερη άνωση, άρα η άνωση που δέχεται το σώμα βυθιζόμενο σε υγρό είναι ανάλογη του όγκου του σώματος.

Αρχή του Αρχιμήδη

Πρώτος ο Αρχιμήδης μελέτησε την άνωση που δέχεται ένα σώμα βυθισμένο σε υγρό και την συσχέτισε με το βάρος του νερού που εκτοπίζει το σώμα. Η αρχή του Αρχιμήδη διατυπώνεται ως εξής:

Κάθε σώμα που βυθίζεται σε ένα υγρό δέχεται μια κατακόρυφη με φορά προς τα άνω δύναμη που λέγεται άνωση που κατά μέτρο είναι ίση με το βάρος του υγρού που εκτοπίζεται από το σώμα.

Η Αρχή του Αρχιμήδη επιβεβαιώνεται πειραματικά με την ακόλουθη πειραματική διαδικασία:

Παίρνουμε μια σφαίρα όπως αυτή του σχήματος και μετράμε με τη βοήθεια του δυναμόμετρου την άνωση που δέχεται βυθιζόμενη στο νερό (αφαιρούμε από την ένδειξη του δυναμόμετρου όταν η σφαίρα είναι εκτός νερού την ένδειξη του δυναμόμετρου όταν η σφαίρα είναι εντός νερού). Βρίσκουμε για την άνωση την τιμή 0,3Ν.

Παίρνουμε ένα άδειο δοχείο Α και το ζυγίζουμε και έστω ότι βρίσκουμε την τιμή για το βάρος του 5Ν.

Μέσα στο άδειο δοχείο Α τοποθετούμε ένα δεύτερο δοχείο Β, το οποίο είναι γεμάτο νερό. Βυθίζουμε τη σφαίρα στο δοχείο Β και βλέπουμε ότι ένα μέρος του νερού χύνεται στο δοχείο Α. Αυτή η ποσότητα νερού είναι το εκτοπισμένο νερό από τη σφαίρα.

Βγάζουμε το δοχείο Β από το δοχείο Α και ζυγίζουμε το δοχείο Α που περιέχει την εκτοπισμένη ποσότητα νερού από τη σφαίρα.

Βρίσκουμε για αυτό το βάρος την τιμή 5,3Ν. Επομένως το βάρος της εκτοπισμένης ποσότητας νερού είναι ίση W=5,3N – 5N = 0,3N.

Βρίσκουμε ότι το βάρος της εκτοπισμένης ποσότητας νέρού από τη σφαίρα ότι είναι ίσο με την άνωση που δέχεται βυθιζόμενη στο νερό.

Μαθηματική σχέση που περιγράφει την Αρχή του Αρχιμήδη

Η σχέση που συνδέει το βάρος w_εκτ του εντοπιζόμενου υγρού με τη μάζα του m_εκτ είναι:

w_εκτ = m_εκτ ‧ g

Από τη σχέση της πυκνότητας του υγρού ρ_υγρού = m_εκτ / V_εκτ  όπου V_εκτ  είναι ο όγκος του εκτοπισμένου υγρού παίρνουμε για τη μάζα m_εκτ = ρ ‧ V_εκτ

Επειδή η άνωση Α είναι ίση με το βάρος του εκτοπισμένου υγρού, αυτή δίνεται από τη σχέση Α = w_εκτ = m_εκτ g = ρ_υγρού ‧ V_εκτ ‧ g

Πλεύση

Βάρος και άνωση βυθισμένου σώματος

Βυθίζουμε ένα σώμα ολόκληρο μέσα σε ένα υγρό και το αφήνουμε. Στο σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις, το βάρος του και η μέγιστη άνωση.

Το βάρος τείνει να κινήσει το σώμα προς τον πυθμένα, ενώ η άνωση προς την επιφάνεια. Ανάλογα με τη σχέση του βάρους και της άνωσης διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.

1) Το βάρος w του σώματος είναι μεγαλύτερο από την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους και της άνωσης πάνω στο σώμα έχει φορά προς τον πυθμένα και το σώμα βυθίζεται. Αυτό συμβαίνει όταν:

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα του υγρού, το σώμα βυθίζεται.

2) Το βάρος w του σώματος είναι ακριβώς ίσο με την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους και της άνωσης πάνω στο σώμα είναι μηδενική με αποτέλεσμα το σώμα να ισορροπεί σε σταθερό βάθος, δηλαδή ούτε να βυθίζεται αλλά ούτε να αναδύεται. Αυτό συμβαίνει όταν: 

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι ίση με την πυκνότητα του υγρού το σώμα ισορροπεί στη θέση που το αφήνουμε.

3) Το βάρος w του σώματος είναι μικρότερο από την άνωση Α

Η συνιστάμενη δύναμη του βάρους του σώματος και της άνωσης πάνω στο σώμα έχει φόρα προς την επιφάνεια. Το σώμα κινείται προς την επιφάνεια και ένα μέρος του αναδύεται. Αυτό συμβαίνει όταν:

Συνεπώς: Αν η πυκνότητα του σώματος είναι μικρότερη από την πυκνότητα του υγρού το σώμα κινείται προς την επιφάνεια.

Συνθήκη πλεύσης

Παίρνουμε ένα σώμα με πυκνότητα μικρότερη ενός υγρού, το βυθίζουμε σε αυτό το υγρό και έπειτα το αφήνουμε. Το σώμα θα αρχίσει να αναδύεται. Μέχρι να φτάσει στην επιφάνεια του υγρού, δέχεται σταθερή άνωση, ίση με τη μέγιστη άνωση. Τότε αρχίζει να εξέρχεται από το υγρό, ενώ ο όγκος του σώματος που είναι βυθισμένος στο νερό μειώνεται με αποτέλεσμα να μειώνεται η άνωση που δέχεται το σώμα από το υγρό. Σε κάποια θέση η άνωση Α γίνεται ίση με το βάρος του σώματος και το σώμα επιπλέει. Όταν ένα σώμα επιπλέει ισχύει η συνθήκη πλεύσης Α= w

Αν πάρουμε μια σφαίρα σιδήρου τότε επειδή η πυκνότητα του σιδήρου είναι μεγαλύτερη από νερό, η σφαίρα θα βυθιστεί. Αν τώρα πάρουμε μια κούφια σφαίρα ίδιας μάζας αλλά μεγάλου όγκου είναι δυνατόν η μέση πυκνότητα της κούφιας σφαίρας να είναι μικρότερη από την πυκνότητα του νερού, συνεπώς η κούφια σφαίρα επιπλέει.

Για τον ίδιο λόγο τα πλοία που είναι κατασκευασμένα από λαμαρίνες επιπλέουν στη θάλασσα.